逆運動学

順運動学は、関節角度から位置を求めます。逆運動学（IK）は、「左足を横に 35 cm 置く」のような望む位置から、関節角度へと逆にたどります。

こちらのほうが難しい理由は3つあります。

• 答えがないことがあります。目標が届かない場所にある場合です。
• 答えがたくさんあることがあります。肘を高くしても低くしても鼻に触れられます。
• 方程式が非線形なので、一般には簡単な公式がありません。

2本の骨からなる手足

脚（太ももとすね）や腕（上腕と前腕）では、真ん中の関節について閉じた形の答えがあります。セグメントの長さを $l_1$ と $l_2$、股関節から足首までの距離を $d$ とすると、余弦定理からセグメント間の膝の角度 $\theta$ が得られます。

$$\cos\theta = \frac{l_1^2 + l_2^2 - d^2}{2\,l_1 l_2}$$

$d \ge l_1 + l_2$ なら、脚は完全に伸びきっていて、目標はちょうど届く距離かそれより遠くにあります。残りの角度で、手足を目標の方へ向けます。

一般の場合：反復する

もっと長い連鎖では、小さな修正を繰り返して IK を解きます。ヤコビアン $J$ は、各関節が動いたときに先端の位置 $x$ がどう動くかを表し、$\Delta x \approx J \Delta q$ となります。これを逆に解くと、目標へ向かう一歩が得られます。伸びきった姿勢の近くでも安定するように、小さな減衰 $\lambda$ を加えます。

$$\Delta q = J^\top\big(J J^\top + \lambda^2 I\big)^{-1} (x^{\text{target}} - x)$$

誤差が小さくなるまでこれを繰り返します。

このプロジェクトでは

キーフレームで作った回復動作（横へのホップ、前へのステップ、後ろへのステップ）は IK で解いています。足と骨盤をどこに置くかを決めると、IK が脚の角度を見つけます。初期のバージョンには脚が交差してしまう IK のバグがあったので、今ではプレビューで手足の間隔と IK の誤差をチェックしています。