質量行列

1つの物体なら、ニュートンの第2法則は「力 = 質量 × 加速度」です。つながった部品でできた体では、1つの関節を押すとそれにつながったものすべてが動くので、「質量」は表になります。これが質量行列 $M$ で、自由度ごとに1行1列を持ちます。

$M(q)\,\ddot q = \tau + \text{other forces}$

ここで $q$ は関節角、$\ddot q$ はその加速度、$\tau$ は関節トルクです。要素 $M_{ij}$ は、関節 $j$ を押したときに関節 $i$ がどれだけ抵抗するか、あるいは動かされるかを表します。これは姿勢によって変わります。腕を伸ばしているときは、たたんでいるときより肩で回しにくくなります。

加速度を求めるには、シミュレータは物理ステップごとにこの方程式を解かなければなりません。そのために $M$ を、解くのが速い単純な三角形の表に分解します（$M = L^\top D L$）。木の形をした体では、ほとんどの要素がゼロなので、分解は木の先端から根元へ向かって、1段ずつ進められます。

このプロジェクトでは

筋肉の体は、1本の木の中に89の自由度を持っています。骨盤、背骨、首、腕、脚、そして指の関節すべてです。GPU上のMuJoCo Warpには、64までのブロック向けの速い分解がありますが、筋肉の体はそれより遅い汎用の分解に回され、GPUの時間の53%を占めていました。レンタルGPUで学習するでは、これを世界のコピー1つにつき1回の起動に置き換えました（8,192コピーで1ステップあたり38.6 msから8.9 msへ、物理全体で+28%）。シンプルな体は自由度が43なので、速い経路に収まります。