キャプチャポイント

キャプチャポイント（Pratt ら 2006）は、シンプルな問いに答えます。このまま動いているとしたら、止まるにはどこに足を置けばいいのか？

身体を倒立振子としてモデル化します。全質量が重心に集まり、一定の高さ $z$ にあって、質量のない脚の上でバランスをとっているとします。重心が水平位置 $x$ にあり、速度 $\dot{x}$ で動いているとき、キャプチャポイントは次のようになります。

$$\xi = x + \frac{\dot{x}}{\omega}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{z}}$$

ここで $g = 9.81\ \text{m/s}^2$ です。重心を、その速度のぶんだけ前に押し出した点です。身体が速く動くほど、キャプチャポイントは遠くなります。

なぜこれが正しい指標なのか

キャプチャポイントは、支点となっている足から指数関数的に離れていきます。

$$\dot{\xi} = \omega\,(\xi - p)$$

ここで $p$ は足が床を押している点（圧力中心）です。足が押せるのは支持多角形の内側からだけです。$\xi$ が内側にあれば、足は $p$ をその向こう側に置いて、身体を引き戻して静止させられます。$\xi$ が外側にあれば、今の足からどう押しても止められません。$\xi$ の近くに新しく足を踏み出すか、倒れるかです。

具体的な数字で

重心の高さが約1 m なら、$\omega = \sqrt{9.81 / 1} \approx 3.1\ \text{s}^{-1}$ です。横向きに 0.2 m/s で流れると、キャプチャポイントは重心より $0.2 / 3.1 \approx 6.5$ cm 先になります。構えの幅が16 cm で重心が真ん中から始まるなら、その流れだけで余裕のほとんどを使ってしまいます。

このプロジェクトでは

押されたあとのすべてを動かしているのがキャプチャポイントです。

• バランスゲートは、キャプチャポイントが参照の位置から6〜15 cm 離れるにつれて上がります。
• リカバリーモードは、キャプチャポイントが足の外に出たとき、または端に向かってじわじわ近づいたときに始まります。
• シェーピング報酬は、キャプチャポイントが足の外にあるとペナルティを与えます（報酬シェーピングを参照）。
• リカバリーは、キャプチャポイントが足の2 cm 内側に入り、身体が落ち着いたら終わります。

バランスの記事では、横から押されると身体が押された 0.6〜2.4 s 後に倒れることがわかりました。キャプチャポイントが足の端までじわじわ近づいていったためです。