単調3次スプライン

スプラインとは、多項式の断片を滑らかにつないだ曲線です。3次スプラインは、隣り合う2点の間ごとに3次多項式を使います。$t_k$ から $t_{k+1}$ までの各区間で、$s = (t - t_k)/h$、$h = t_{k+1} - t_k$ とすると、3次エルミートの断片は、両端の値 $y_k, y_{k+1}$ とそこでの傾き $m_k, m_{k+1}$ で決まります。

$$p(s) = (2s^3 - 3s^2 + 1)\,y_k + (s^3 - 2s^2 + s)\,h\,m_k + (-2s^3 + 3s^2)\,y_{k+1} + (s^3 - s^2)\,h\,m_{k+1}$$

行き過ぎの問題

標準的な滑らかな3次スプラインは、曲線ができるだけ滑らかになるように傾きを選びます。そのため急な変化の近くではオーバーシュートします。データを通り越してから戻ってくるのです。動きの場合、これは目に見え、害にもなりえます。床の高さで止まるはずの足が床の下に沈んだり、関節が一瞬だけ限界を超えたりします。

単調にする解決策

Fritsch と Carlson（1980）は、データが単調なところでは曲線も単調になるように傾き $m_k$ を選びます。点が上がるだけなら曲線も上がるだけで、隣り合う2点が等しければ、曲線はその間で平らなままです。傾きは隣どうしの割線の傾き $\Delta_k = (y_{k+1} - y_k)/h$ から取り、山と谷ではゼロにします。これはよくPCHIP（piecewise cubic Hermite interpolating polynomial、区分的3次エルミート補間多項式）と呼ばれます。

代償は滑らかさが少し落ちることで、2階微分が点のところで跳ぶことがあります。キーフレームで作った動きなら、これは良い取引です。

このプロジェクトでは

回復動作のキーフレームは単調3次スプラインでつないでいるので、地面についたままでいるべき足や、下ろしたままでいるべきかかとが、キーの間でずれていきません。